Förströelse

www.gardeborn.se

Uträkningar

 

  1. Avståndet mellan Askersund (norra spetsen) och Jönköping (södra spetsen) är 130 km. Jordradien (R) är cirka 6370 km. Pytagoras sats för en rätvinklig triangel med hypotenusan från jordens mitt till Jönköping (längd=R), ena kateten mellan Jönköping och snörets mitt (längd=65km) och andra kateten mellan snörets mitt och jordens mitt (längd=R-d, där d är det sökta djupet) ger R2=652+(R-d)2. Ekvationen löses och ger d=332 meter.
  2. Uppskattningsvis har människan hundra tusen miljarder (1014) celler. Varje (somatisk) cell innehåller 23 kromosompar med en sammanlagd längd DNA på cirka 1,7 meter. Jordens omkrets är 4000 mil = 4*107 m. Antalet varv runt jorden blir 1,7*1014/4*107 = 4,25*106 varv.
  3. Svenska statsskulden är 1152 miljarder kr (2012-12-28). Detta blir 1,152*1010 hundralappar. Varje hundralapp är cirka 0,1 mm i tjocklek, dvs traven blir 1,152*106 meter = 115,2 mil. Avståndet mellan Ystad och Haparanda är cirka 128 mil.
  4. En femkrona har diametern 28,5 mm. Solen har diamenter 1,39*109 m, och är således cirka 5*1010 gånger större. Jordens diameter är 12 740 km som delat med faktorn 5*1010 blir 0,25 mm som är den ungefärliga storleken på ett sandkorn. Avståndet mellan solen och jorden är 1,5*1011 m som delat med samma faktor blir 3 m. Avståndet till Alfa Centauri är 4,37 ljusår. Ljuset går 300 000 km/s som gånger 31 536 000 sekunder på ett år blir 9,5*1012 km. Detta gånger avståndet till Alfa Centauri delat med faktorn 5*1010 blir 830 km.
  5. 1 mol är det antal molekyler som väger lika mycket (i gram, g) som molekylen väger (i atommassenheter, u). 1 mol är cirka 6*1022 stycken molekyler. Vattenmolekylen har en syre (u=8) och två väte (u=1), dvs den väger 10 u. 1 mol vatten väger därför 10 g. 1 glas vatten sätts till 2 dl, dvs 200 g. Det innehåller därför 200/10=20 mol vattenmolekyler eller 1,2*1024 stycken. Volymen på jordens vatten är ungefär 1,46*109 km3, dvs vi får 8,2*1014 märkta molekyler per km3. 1 km3 är 1012 liter vilket ger oss 8,2*102 molekyler per liter. Det nya glaset på 2 dl kommer att innehålla 1/5 av detta, dvs 164 stycken av de ursprungliga vattenmolekylerna. (Observera att övningen är enbart matematisk. I kvantfysikernas beskrivning av verkligheten saknar atomer egna identiteter, vilket gör det meningslöst att tala om "samma" eller "olika" atomer.)
  6. Det svenska alfabetet innehåller 32 tecken, inklusive punkt, komma och mellanslag. Meningen innehåller 40 tecken och kan därför skrivas på 3240 olika sätt. Kalla detta tal för x, dvs x=3240 => log(x) = log(3240) = 40*log(32) = 60,21 => x=1060. Med 109 apor som gör 109 nedlag i sekunden tar det därför 1042 sekunder att skriva meningen. Omvandlat till år blir det 1042/(365d*24h*60m*60s) = 3,2*1034 år. (Med alla tecknen på tangentbordet, till exempel siffrorna, blir detta tal astronomiskt(!) mycket större.)
  7. En cirkels omkrets är 2*π*r, där r är radien. En cirkel med 1 meter längre radie har omkretsen 2*π*(r+1) = 2*π*r + 2*π*1. Skillnaden i omkrets blir (2*π*r + 2*π*1) - 2*π*r = 2*π, dvs oberoende av radien. Eftersom π är ungefär 3,14 blir skillnaden i omkrets drygt 6 meter.
  8. En människa har cirka 5 liter blod i kroppen. Hjärtat pumpar ungefär 70 ml blod per slag, eller 4,9 liter per minut om det slår 70 slag/min. Det tar alltså en minut för att hela mängden blod ska pumpas runt ett varv i kroppen.
  9. "g" står för tyngaccelerationen. Den anger hastighetsökningen per sekund för kroppar i fritt fall vid jordytan och är 9,8 m/s per sekund, dvs 9,8 m/s2. För en kropp som bromsas till stillastående gäller formeln v2 = 2as, där v är hastigheten (100 km/tim = 27,8 m/s), a är accelerationen (1000g = 9800 m/s2) och s är den sökta sträckan. Detta insatt i formeln ger: 27,82 = 2*9800*s => s = 0,039 m.
  10. Månens dragningskraft ger två tidvattenvågor på jorden, en som vetter mot månen och en som vetter från månen. Jorden kan ses som ett snurrande klot inne i dessa tidvattenvågor som då fungerar som en skivbroms på jorden så att dess rotationshastighet minskas. (Siffran som angivits för dygnets förlängning stämmer inte exakt med den observerade ökningen, beroende på att också andra faktorer påverkar rotationshastigheten.) Månens fjärmande är lite mer komplicerad. Den beror på att jordens rotation "drar" lite i tidvattenvågen så den hela tiden ligger lite framför linjen mellan jorden och månen. Gravitationen från vågen "drar" i sin tur med sig månen som accelererar en smula. Månens ökande rotationshastighet ger den en vidare bana. Den är alltså på väg bort från jorden med en hastighet av 3 cm per år, ungefär som naglarna växer.
  11. I sådana här problem är det lättast att räkna på sannolikheten att en människa inte delar sin födelsedag med någon annan. Första personen kan vara född när som helst. Andra personens födelsedag månste komma någon av de andra 364 dagarna, vilket har en sannolikhet på 364/365. Tredje personen har 363 dagar kvar att välja mellan för att få sin unika födelsedag, dvs 363/365 chans. Att både andra och tredje personen har egna födelsedagar blir produkten av deras individuella sannolikheter, dvs (364*363)/3652. Sannolikheten att fyra personer alla har unika födelsedagar blir (364*363*362)/3653, och så vidare. Att ingen av de 23 personerna delar sin fördelsedag blir därför (364*363*...*343)/36522. Detta uttryck kan räknas ut med så kallade "fakulteter" och blir 0,496. Det är alltså mindre än 50% chans att alla har unika födelsedagar och således mer är 50% chans att minst två personer delar födelsedag med någon annan. Gör på samma sätt för 30 elever.
  12. Det djupaste borrhålet är 12 km och finns på Kolahalvön i Ryssland. Detta delat med jordradien 6370 km ger 0,0019 eller 0,19%.
  13. Bilens fart 360 km/tim motsvarar 100 m/s. Eftersom avståndet mellan jorden och solen är 1,5*1011 m tar det 1,5*109 s att ta sig dit vilket, delat med antalet sekunder på ett år, ger 47,6 år. Andromedagalaxen ligger på 2,5 miljoner ljusårs avstånd, vilket är 2,4*1022 m. Det tar alltså 2,4*1020 sekunder att ta sig dit vilket är 7,5*1012 år.
  14. Människans arvsmassa har 3 miljarder "bostäver", där en bokstav utgörs av en kvävebas som kan vara av fyra olika slag, A, T, C eller G. Arvsmassan behöver därför 1 miljon boksidor med 3000 tecken på varje, eller 2000 böcker med 500 sidor i varje. (Det ska dock påpekas att bokstäverna i boken är av fler typer än arvsmassans bokstäver och innehåller därför mer information.) En snabb maskinskrivare gör 300 nedslag i minuten eller 18 000 nedslag i timmen. Ett arbetsår brukar anges till 1720 timmar, under vilket han hinner med 31 miljoner nedslag. Yrkesarbetar han i 45 år har han gjort 1,4 miljarder nedslag vilket är mindre än halva arvsmassan. Det behövs alltså minst ytterligare en fulltidsarbetare för att slutföra uppgiften. Och de kanske inte har haft världens roligaste jobb...
  15. Ett hjärta som slår 70 slag per minut, slår 70*60*24*7 = 705 600 slag per vecka. Det pumpar ungefär 70 milliliter blod per slag eller 50 000 liter (=50 m3) per vecka, vilket är lite mer än vad en normalstor tankbil rymmer. (Tankbilen på bilden rymmer 45 m3.) Multipliceras antal slag i veckan med 52 veckor per år och 80 år fås nästan 3 miljarder slag. Multipliceras detta antal med 70 milliliter per slag fås 206 000 000 liter eller 206 000 m3.
  16. Betrakta en rätvinklig triangel med stolpen (höjd=h=4m) som ena katet och halva Sveavägen (Iängd=l=1050m) som andra. Pytagoras sats ger h2+l2=(l+d)2, där d är den extra längden rev på ena sidan av upphöjningen. 2*d är längdökningen åt båda håll från mitten som blir 1,524 cm.
  17. Höjden på pylonerna (h) är 227 m och avståndet mellan dem (a=spannet) är 1280 m. Jordradien (R) = 6370 km. Sökt skillnad i avstånd = d. Två rätvinkliga trianglar jämförs: A från jordens mitt till ena pylonens bas till mitt mellan pylonbaserna, med hypotenusan = R och kateten utmed jordytan = a/2. B från jordens mitt till ena pylonens topp till mitt mellan pylontopparna, med hypotenusan = R+h och kateten utmed jordytan = (a+d)/2. För-hållandet mellan kateten utmed jordytan och hypotenusan är a/2/R för A och (a+d)/2/(R+h) för B. Eftersom de båda trianglarna delar alla vinklar är detta förhållande detsamma för dem, vilket ger a/2/R=(a+d)/2/(R+h) => d=ah/R, viket med ovanstående numeriska uppgifter ger d=4,56 cm.
  18. Mänden vatten är 1,46*109 km3. Detta sprids ut över jordytan som är 4*π*jordradien2 (6370 km), dvs djupet= 1,46*109 km3/(4*π*63702*km2)=2,86 km.
  19. Detta inses lättast genom att fokusera på förlorarna istället för på vinnarna. Varje match har exakt en (1) förlorare och en utslagsturnering på n spelare har exakt n-1 förlorare.

 

  1. Relationen mellan hastighet (v), acceleration (a) och sträcka (s) är v2=2as => s=v2/2a. I vårt fall är a=4,5*g (tyngsaccelerationen) dvs ungefär 45 m/s2, och v = 150 km/tim = 42 m/s. Insatt i formeln blir det s=422/(2*45) = 19,6 meter.

____________________________________________________________________________________________

Anders Gärdeborn © 2018 • Spridning tillåten om du anger källan, dock inte i kommersiellt syfte.